已知向量
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=(cosx，-1)，函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式和三角恒等變換公式，化簡得f(x)=(
a
+
b
)•
b
=
2
2
sin（2x+
π
4
）．再利用三角函數(shù)的周期與最值的公式，即可算出f（x）的最小正周期，最大值和最小值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（1）∵
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=(cosx，-1)，
∴f(x)=(
a
+
b
)•
b
=cosx（sinx+cosx）+
1
2
×(-1)
=
1
2
sin2x+
1
2
（1+cos2x）-
1
2
=
2
2
sin（2x+
π
4
）．
因此，f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π，最大值為
2
2
，最小值為-
2
2
；
（2）令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ（k∈Z），
得-
3π
8
+
1
2
kπ≤x≤
π
8
+
1
2
kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-
3π
8
+
1
2
kπ，
π
8
+
1
2
kπ]（k∈Z）．
點評：本題給出向量
a
、
b
含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，求f(x)=(
a
+
b
)•
b
的周期、最值與單調(diào)區(qū)間．著重考查了向量數(shù)量積公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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