【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,證明: ,總有.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則導(dǎo)函數(shù)存在小于0的取值區(qū)間,不等式變形后,問題轉(zhuǎn)化為存在取值區(qū)間,求出a的范圍即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證對x∈恒成立,構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=e2x+1-(2x+2),x∈[1,],求導(dǎo),利用函數(shù)單調(diào)性證明;構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=,求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明;并且g(x)和h(x)不能同時取等號,即可證明不等式,恒成立.故原不等式恒成立.
(Ⅰ)由題意得,
若函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間,則。
即存在取值區(qū)間,即存在取值區(qū)間,
所以.
(Ⅱ)當(dāng)時,
由有,從而,
要證原不等式成立,只要證對恒成立
即證明對恒成立
首先令,由,可知,
當(dāng)時單調(diào)遞增,當(dāng)時單調(diào)遞減,
所以,有
構(gòu)造函數(shù),,
因為,
可見,在時,,即在上是減函數(shù),
在時,,即在上是增函數(shù),
所以,在上,,所以.
所以,,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時,
綜上:,由于取等條件不同,
故,所以原不等式成立.
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【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別是 (t是參數(shù))和 (φ為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)射線OM:θ=α與曲線C1的交點為O,P,與曲線C2的交點為O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.
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【題目】在等腰梯形ABCD中,E、F分別是CD、AB的中點,CD=2,AB=4,AD=BC=.沿EF將梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,如圖.
(1)若G為FB的中點,求證:AG⊥平面BCEF;
(2)求二面角C-AB-F的正切值.
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【題目】用[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[3]=3,[1.2]=1,[﹣1.3]=﹣2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+an , 則[ + +…+ ]= .
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【題目】已知兩點,直線AM,BM相交于點M,且這兩條直線的斜率之積為.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)記點M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點P的橫坐標(biāo)為1,過點P的斜率不為零且互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線C于Q,R(異于點P),求直線QR的斜率.
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,棱AB的中點為P,若光線從點P出發(fā),依次經(jīng)三個側(cè)面BCC1B1 , DCC1D1 , ADD1A1反射后,落到側(cè)面ABB1A1(不包括邊界),則入射光線PQ與側(cè)面BCC1B1所成角的正切值的范圍是( )
A.( , )
B.( ,4)
C.( , )
D.( , )
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【題目】設(shè)直線l:y=2x﹣1與雙曲線(,)相交于A、B兩個不
同的點,且(O為原點).
(1)判斷是否為定值,并說明理由;
(2)當(dāng)雙曲線離心率時,求雙曲線實軸長的取值范圍.
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【題目】已知圓心在軸非負(fù)半軸上,半徑為2的圓C與直線相切.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線l與圓O:x2+y2=4相交于不同的兩點A,B.①求△OAB的面積的最大值;②在圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l的方程為mx+ny=1,且此時△OAB的面積恰好取到①中的最大值?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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