(2012•四川)設(shè)a,b為正實數(shù),現(xiàn)有下列命題:
①若a2-b2=1,則a-b<1;
②若
1
b
-
1
a
=1
,則a-b<1;
③若|
a
-
b
|=1
,則|a-b|<1;
④若|a3-b3|=1,則|a-b|<1.
其中的真命題有
①④
①④
.(寫出所有真命題的編號)
分析:①將a2-b2=1,分解變形為(a+1)(a-1)=b2,即可證明a-1<b,即a-b<1;②③可通過舉反例的方法證明其錯誤性;④若a>b,去掉絕對值,將a3-b3=1分解變形為(a-1)(a2+1+a)=b3,即可證明a-b<1,同理當a<b時也可證明b-a<1,從而命題④正確
解答:解:①若a2-b2=1,則a2-1=b2,即(a+1)(a-1)=b2,∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1,①正確;
②若
1
b
-
1
a
=1
,可取a=7,b=
7
8
,則a-b>1,∴②錯誤;
③若|
a
-
b
|=1
,則可取a=9,b=4,而|a-b|=5>1,∴③錯誤;
④由|a3-b3|=1,
若a>b,則a3-b3=1,即a3-1=b3,即(a-1)(a2+1+a)=b3,∵a2+1+a>b2,∴a-1<b,即a-b<1
若a<b,則b3-a3=1,即b3-1=a3,即(b-1)(b2+1+b)=a3,∵b2+1+b>a2,∴b-1<a,即b-a<1
∴|a-b|<1∴④正確;
故答案為①④
點評:本題主要考查了不等式的證明方法,間接證明和直接證明的方法,放縮法和舉反例法證明不等式,演繹推理能力,有一定難度,屬中檔題
練習冊系列答案
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(2012•四川)設(shè)
a
、
b
都是非零向量,下列四個條件中,使
a
|
a
|
=
b
|
b
|
成立的充分條件是( 。

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|
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π
8
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