Question

已知定圓A：（x+1）²+y²=8的圓心為A，動(dòng)圓M過點(diǎn)B（1，0），且于圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡的方程為C，
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）直線l過點(diǎn)（0，t）且與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，探究：是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)N（0，-1）在以PQ為直徑的圓上，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依據(jù)條件判斷定圓和動(dòng)圓相內(nèi)切，再依據(jù)橢圓的定義寫出曲線C的方程；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)N（0，-1）在以PQ為直徑的圓上，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，判別式大于0，再由直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用直線垂直的條件，化簡(jiǎn)整理，得到t的方程，解出即可判斷．

解答： 解：（1）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r₁=2

2

，
設(shè)動(dòng)圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=2

2

，
所以點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由2a=2

2

，2c=2，可得a²=2，b²=1．
故曲線C的方程為

x2

2

+y²=1；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)N（0，-1）在以PQ為直徑的圓上．
則由直線l過點(diǎn)（0，t），即有l(wèi)：y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程x²+2y²=2，
消去y，得，（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則有△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，
x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，
由于點(diǎn)N（0，-1）在以PQ為直徑的圓上，則NP⊥NQ，
即有

y1+1

x1

•

y2+1

x2

=-1，即x₁x₂+（kx₁+1+t）（kx₂+1+t）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+k（1+t）（x₁+x₂）+（1+t）²=0，
即有（1+k²）•

2t2-2

1+2k2

+k（t+1）•

-4kt

1+2k2

+（1+t）²=0，
化簡(jiǎn)整理，可得3t²+2t-1=0，解得，t=-1，或t=

1

3

，
當(dāng)t=-1時(shí)，則直線恒過（0，-1），N與P，Q中某一點(diǎn)重合，只要k≠0，即可；
當(dāng)t=

1

3

時(shí)，檢驗(yàn)判別式大于0成立，
則存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)N（0，-1）在以PQ為直徑的圓上，
且t=-1，或t=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查圓與圓的位置關(guān)系，直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．