【題目】數(shù)列的各項均為正數(shù),且的前項和是.

(1)若是遞增數(shù)列,求的取值范圍;

(2)若,且對任意,都有,證明: .

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】試題分析: 由題意先證明,然后利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合條件證明結(jié)果由已知先證明數(shù)列是遞減數(shù)列,由,求出范圍,分別證明時的情況是否成立

解析:(1) a2>a1a11>a1,

0<a1<2

又由a3>a2a21>a20<a2<20<a11<2,

1<a1<2

由①②,得1<a1<2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)1<a1<2時,1<an<2對任意nN*恒成立.

()當(dāng)n1時,1<a1<2成立;

()假設(shè)當(dāng)nk(k1kN*)時,1<ak<2成立,

則當(dāng)nk1時,ak1ak1[212)(1,2).

綜上,可知1<an<2對任意nN*恒成立.

于是an1an1>0,即{an}是遞增數(shù)列.

所以a1的取值范圍是1<a1<2.

(2)證明 因為a1>2,可用數(shù)學(xué)歸納法證明:an>2對任意nN*恒成立.

于是an1an1<0,即{an}是遞減數(shù)列.

Snna1 (n1)中,令n2,

2a11S22a1,解得a13

2<a13.

下證:①當(dāng)時,

Snna1 (n1)恒成立.

事實上,當(dāng)時,

由于于是

再證:②當(dāng)時不合題意.

事實上,當(dāng)時,設(shè)anbn2,

則由可得

,

于是數(shù)列{bn}的前n項和,

Sn2nTn<2n3na1(2a1)n3.(*)

則由(*)式得,

只要n充分大,就有Sn<na1 (n1),這與Snna1 (n1)矛盾.

所以<a13不合題意.

綜上,有2<a1.

于是 ,因為

故數(shù)列{bn}的前n項和,

所以Sn2nTn<2n1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項和,數(shù)列是正項等比數(shù)列,且,.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)記,是否存在正整數(shù),使得對一切,都有成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-mx(mR)。(1)m>0,討論f(x)的單調(diào)性;(2)令g(x)=f(x-1)+(2m+1)x+n,g(x)有兩個零點,,求證: <

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), .

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)處取得極值,對, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足, .

(1)求證: ;

(2)求證:

(3)求證: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(其中),(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若曲線處的切線與直線垂直,求的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若對任意,總存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(a>0).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:對任意x[1,+∞),有f(x)≤2x-a2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,某部門從年齡在歲到歲的人群中隨機調(diào)查了人,并得到如圖所示的頻率分布直方圖,在這人中不支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如圖所示:

年齡

不支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)

(1)由頻率分布直方圖,估計這人年齡的平均數(shù);

(2)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,據(jù)此表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為以歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度存在差異?

45歲以下

45歲以上

總計

不支持

支持

總計

附:

參考數(shù)據(jù):

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),且過點

1)求橢圓C的方程;

2)過作兩條直線與圓相切且分別交橢圓于M、N兩點.

求證:直線MN的斜率為定值;

MON面積的最大值(其中O為坐標(biāo)原點).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案