設(shè)x1、x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“⊕”:x1⊕x2=(x1+x22,定義運(yùn)算“?”:x1?x2=(x1-x22;對(duì)于兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),定義d(AB)=
y1?y2

(1)若x≥0,求動(dòng)點(diǎn)P(x,
(x⊕a)-(x?a)
) 的軌跡C;
(2)已知直線l1 : y=
1
2
x+1
與(1)中軌跡C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),若
(x1?x2)+(y1?y2)
=8
15
,試求a的值;
(3)在(2)中條件下,若直線l2不過原點(diǎn)且與y軸交于點(diǎn)S,與x軸交于點(diǎn)T,并且與(1)中軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q,試求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍.
分析:(1)設(shè)y=
(x⊕a)-(x?a)
,根據(jù)新定義運(yùn)算得出:y2=(x⊕a)-(x?a)=(x+a)2-(x-a)2=4ax,從而得出的軌跡方程即可;
(2)先將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用根據(jù)新定義運(yùn)算即可求得a值,從而解決問題;
(3)根據(jù)新定義運(yùn)算得到:d(AB)=
y1?y2
=|y1-y2|
,從而
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
=
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|

設(shè)直線l2:x=my+c,分別過P、Q作PP1⊥y軸,QQ1⊥y軸,垂足分別為P1、Q1,有
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|PP1|
+
|OT|
|QQ1|
=
|c|
|xP|
+
|c|
|xQ|
.由
y2=8x
x=my+c
先將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用基本不等式即可求得試求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)y=
(x⊕a)-(x?a)

則y2=(x⊕a)-(x?a)=(x+a)2-(x-a)2=4ax,
又由y=
(x⊕a)-(x?a)
≥0,
可得P(x,
(x⊕a)-(x?a)
) 的軌跡方程為y2=4ax(y≥0),軌跡C為頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為(a,0)的拋物線在x軸上及第一象限的內(nèi)的部分;
(2)由已知可得
y2=4ax
y=
1
2
x+1
,整理得x2+(4-16a)x+4=0,
由△=(4-16a)2-16=162a2-8×16a≥0,得a≥
1
2
或a≤0

∵a>0,∴a≥
1
2

(x1?x2)+(y1?y2)
=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(x1-x2)2+(
x1-x2
2
)
2
=
5
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
2
(4-16a)2-16
=8
15
,
解得a=2或a=-
1
2
(舍).
(3)∵d(AB)=
y1?y2
=|y1-y2|
,
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
=
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|

設(shè)直線l2:x=my+c,
依題意m≠0,c≠0,則T(c,0)
分別過P、Q作PP1⊥y軸,QQ1⊥y軸,垂足分別為P1、Q1,
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|PP1|
+
|OT|
|QQ1|
=
|c|
|xP|
+
|c|
|xQ|

y2=8x
x=my+c
消去y得x2-(2c+8m2)x+c2=0.
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|c|(
1
|xP|
+
1
|xQ|
)
2|c|
1
xPxQ
=2|c|
1
c2
=2

∵xP、xQ取不相等的正數(shù),∴取等的條件不成立,
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范圍是(2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題抽象函數(shù)、新定義函數(shù)類型的概念,不等式的性質(zhì),放縮法的技巧,對(duì)于新定義類型問題,在解答時(shí)要先充分理解定義才能答題,避免盲目下筆,遇到困難才來重頭讀題,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,另外要在充分抓住定義的基礎(chǔ)上,對(duì)式子的處理要靈活,各個(gè)式子的內(nèi)在聯(lián)系要充分挖掘出來,可現(xiàn)有結(jié)論向上追溯,看看需要哪些條件才能得出結(jié)果,再來尋求轉(zhuǎn)化取得這些條件.屬中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1、x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1*x2=( x1+x22-( x1-x22,若x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)的軌跡是( 。
A、圓
B、橢圓的一部分
C、雙曲線的一部分
D、拋物線的一部分

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1,x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“⊕”,x1x2=(x1+x2)2,定義運(yùn)算“?”,x1?x2=(x1-x2)2.現(xiàn)有x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,
(x⊕a)-(x?a)
)
的軌跡方程是
y2=4ax(y≥0)
y2=4ax(y≥0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1,x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1*x2=(x1+x22-(x1-x22
(1)若x≥0,求動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)
的軌跡C的方程;
(2)若a=2,不過原點(diǎn)的直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為T,S,并且與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,試求
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ST
|
|
SP
|
+
|
ST
|
|
SQ
|
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x1,x2∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:x1*x2=(x1+x22-(x1-x22
(1)若x≥0,求動(dòng)點(diǎn)P(x,
x*a
)
的軌跡C的方程;
(2)若a=2,不過原點(diǎn)的直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為T,S,并且與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,試求
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ST
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SP
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+
|
ST
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|
SQ
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的取值范圍;
(3)設(shè)P(x,y)是平面上的任意一點(diǎn),定義d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
,d2(P)
=
1
2
(x-a)*(x-a)
.若在(1)中的軌跡C存在不同的兩點(diǎn)A1,A2,使得d1(Ai)=
a
d2(Ai)(i=1,2)
成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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