Question

已知數(shù)列a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足T_n=1-b_n
（I）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）在{a_n}中是否存在使得

1

an+9

是{b_n}中的項(xiàng)，若存在，請寫出滿足題意的一項(xiàng)（不要求寫出所有的項(xiàng)）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可知b1=

1

2

．b_n=b_n-1-b_n，故b_n為首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列，由此能夠求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由題意可知2m-1+9=2ⁿ，∴m=2ⁿ-4（n≥3，n∈N），由此能夠?qū)懗鰸M足題意的一項(xiàng)．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，∵B₁=T₁=1-b₁，
∴b1=

1

2

．當(dāng)n≥2時(shí)，
∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
兩式相減得：b_n=b_n-1-b_n，即：bn=

1

2

bn-1，
故b_n為首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列，∴bn=(

1

2

)n．
（II）設(shè)a_n中第m項(xiàng)a_m滿足題意，即

1

am+9

=(

1

2

)n，
即2m-1+9=2ⁿ，∴m=2ⁿ-4（n≥3，n∈N）
∴a₄=7．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)．