Question

（2007•南通模擬）袋中裝有20個(gè)不同的小球，其中有n（n∈N*，n＞1）個(gè)紅球，4個(gè)藍(lán)球，10個(gè)黃球，其余為白球．已知從袋中取出3個(gè)顏色相同的彩球（不是白球）的概率為

31

285

．
（Ⅰ）求袋中的紅球、白球各有多少個(gè)？
（Ⅱ）從袋中任取3個(gè)小球，求其中一定有紅球的概率．

Answer 1

分析：（I）設(shè)“從袋中任取3球全心紅球”、“從袋中任取3球全為藍(lán)球”、“從袋中任取3球全黃球”分別為事件A，B，C，由題意知，A，B，C兩兩互斥，先求出P（B） 和P（C）的值，根據(jù) P（A）+P（B）+P（C）=

31

285

，求出P（A），從而得到n的值及白球的數(shù)量．
（Ⅱ）所求的事件的概率等于用1減去它的對(duì)立事件概率．它的對(duì)立事件為：從袋中任取3個(gè)小球，其中一定沒有
紅球．

解答：解：（I）設(shè)“從袋中任取3球全心紅球”、“從袋中任取3球全為藍(lán)球”、“從袋中任取3球全黃球”分別為事件A，B，C，由題意知，A，B，C兩兩互斥，則P(B)=

C 3 4

C 3 20

=

1

285

，P(C)=

C 3 10

C 3 20

=

30

285

．…（4分）
故從袋中取出成3個(gè)都是相同顏色彩球（不是白球）的概率為P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

31

285

，
∴P(A)=

31

285

-[P(B)+P(C)]=0．…（6分）
由此得出袋中取3球不可能全為紅球，從而n≤2，又n∈N^*，n＞1，故n=2．
故袋中有2個(gè)紅球4個(gè)白球 …（8分）
（II）設(shè)“從袋中任取3個(gè)小球，其中一定有紅球”為事件D，則P(D)=1-P(

.

D

)=P(D)=1-P(

.

D

)=1-

C 3 18

C 3 20

=

27

95

．
故從袋中任取3個(gè)小球，一定有紅球的概率為

27

95

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等可能事件的概率，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率等于用1減去它的對(duì)立事件概率．