Question

（2003•東城區(qū)二模）某城市為了改善交通狀況，需進(jìn)行路網(wǎng)改造．已知原有道路a個(gè)標(biāo)段（注：1個(gè)標(biāo)段是指一定長(zhǎng)度的機(jī)動(dòng)車(chē)道），擬增建x個(gè)標(biāo)段的新路和n個(gè)道路交叉口，n與x滿(mǎn)足關(guān)系n=ax+b，其中b為常數(shù)．設(shè)新建1個(gè)標(biāo)段道路的平均造價(jià)為k萬(wàn)元，新建1個(gè)道路交叉口的平均造價(jià)是新建1個(gè)標(biāo)段道路的平均造價(jià)的β倍（β≥1），n越大，路網(wǎng)越通暢，記路網(wǎng)的堵塞率為μ，它與β的關(guān)系為μ=

1

2(1+β)

．
（Ⅰ）寫(xiě)出新建道路交叉口的總造價(jià)y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式：
（Ⅱ）若要求路網(wǎng)的堵塞率介于5%與10%之間，而且新增道路標(biāo)段為原有道路標(biāo)段數(shù)的25%，求新建的x個(gè)標(biāo)段的總造價(jià)與新建道路交叉口的總造價(jià)之比P的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)b=4時(shí)，在（Ⅱ）的假設(shè)下，要使路網(wǎng)最通暢，且造價(jià)比P最高時(shí)，問(wèn)原有道路標(biāo)段為多少個(gè)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由題意得到新建道路交叉口的總造價(jià)y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）由題意可知P=

kx

y

，再由路網(wǎng)的堵塞率介于5%與10%之間列式得到β的范圍，從而得到P的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使路網(wǎng)最通暢，且造價(jià)比P最高時(shí)β=9，代入造價(jià)比P=

a

β(a2+4b)

后利用基本不等式求最值．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，新建道路交叉口的總造價(jià)（單位：萬(wàn)元）為：
y=kβn=kβ（ax+b）；
（Ⅱ）P=

kx

y

=

x

β(ax+b)

=

1 4 a

β( 1 4 a2+b)

=

a

β(a2+4b)

．
由于 5%≤μ≤10%
有0.05≤

1

2(1+β)

≤0.1
則0.1≤

1

1+β

≤0.2
∴5≤1+β≤10．
∴4≤β≤9．
∴

1

9

≤

1

β

≤

1

4

．
又由已知P＞0，β＞0，從而

a

a2+4b

＞0．
所以P的取值范圍是

a

9(a2+4b)

≤P≤

a

4(a2+4b)

．
（Ⅲ）當(dāng)b=4時(shí)，在（Ⅱ）的條件下，若路網(wǎng)最通暢，則β=9．
又造價(jià)比最高．
∴P=

a

9(a2+16)

=

1

9(a+ 16 a )

≤

1

9×2×4

=

1

72

．
當(dāng)且僅當(dāng)  a=

16

a

即a=4時(shí)取等號(hào)．
∴滿(mǎn)足（Ⅲ）的條件的原有道路標(biāo)段是4個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了學(xué)生的讀題能力，解答的關(guān)鍵在于讀懂題意，正確列出表達(dá)式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中高檔題．