在等差數(shù)列{an}中,a1=1,公差d≠0,a22=a1•a4,設數(shù)列{22-an}的前n項和為Sn
(1)解不等式:
Sn-am
Sn+1-am
1
2
,求正整數(shù)m,n的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=4,bn+1=bn2-an•bn+1,求證:
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
2
5
分析:(1)由已知,可求出an=n,從而不等式化為
4-
4
2n
- m
4-
4
2n+1
- m
1
2
,整理為4-
4
2n+1
>m>4-
12
2n+1
,得出m=2,n=1
(2)先用數(shù)學歸納法證明bn>n+2,由此bk+1=bk2-k•bk+1=bk(bk-k)+1>2bk+1,兩邊同時加上1,并整理得1+bk+1>2(1+bk ),得出1+bn>2(1+bn-1)>22(1-bn-2)>…>2n-1(1+b1)=5•2n-1,得出
1
1+ bn
1
5
×(
1
2
)n-1,對不等式的右邊各項放縮,再結(jié)合等比數(shù)列求和公式,計算化簡,可以證明.
解答:解:(1)由題意,∵a22=a1•a4,
∴(1+d)2=1+3d,∴d=1
∴an=n,22-an=22-n
Sn=4-
1
2n

Sn-am
Sn+1-am
1
2

4-
4
2n
- m
4-
4
2n+1
- m
1
2

4-
4
2n+1
>m>4-
12
2n+1

∴m=2,n=1;
(2)先用數(shù)學歸納法證明bn>n+2
當n=1時,b1=4>1+2,不等式成立.
假設n=k(k∈N,k≥1)時,不等式成立,即bk>k+2.則當n=k+1時,bk+1=bk2-k•bk+1=bk(bk-k)+1>(k+2)×2+1=2k+5>(k+1)+2,即當n=k+1時,不等式也成立.
所以對于任意正整數(shù)n均有bn>n+2
 由此bk+1=bk2-k•bk+1=bk(bk-k)+1>2bk+1,兩邊同時加上1,并整理得1+bk+1>2(1+bk ),∴1+bn>2(1+bn-1)>22(1-bn-2)>…>2n-1(1+b1)=5•2n-1,
1
1+ bn
1
5
×(
1
2
)n-1,
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
1
5
(1+
1
2
+
1
4
+
1
2n-1
)=
1
5
×
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
=
2
5
[1-(
1
2
)
n
]<
2
5
點評:本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式,前n項和公式,放縮法證明不等式,考查分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計算能力.
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