某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng),分別由李老師和張老師負(fù)責(zé),已知該系共有位學(xué)生,每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加(都是固定的正整數(shù))。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為
(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率;
(2)求使取得最大值的整數(shù)。
(1)     (2)見(jiàn)解析
本題是概率壓軸題,難度大,文字多,考生不一定能夠有時(shí)間去讀懂,不僅如此還考查到了分類討論思想,難度更高一層,但細(xì)細(xì)想來(lái),它也就那回事.第(1)題該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息要從反面角度去思考,沒(méi)有收到信息的概率是什么,由于A和B是相互獨(dú)立,,沒(méi)有收到信息的概率正好是,所以最后的結(jié)果就能求出;第(2)題考查的考點(diǎn)比較多,而且都是變量,遇到變量就要做好討論的準(zhǔn)備,于是本題要從兩個(gè)角度考慮.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),整數(shù)滿足,其中中的較小者,從而表示出,接著要根據(jù)題意找出不等關(guān)系:,化簡(jiǎn)分離出,而是否為整數(shù),需要討論,還需要考慮是否成立的問(wèn)題,于是,接下來(lái)一方面需要討論是否為整,另一方面要證明,詳細(xì)的解答如下.
設(shè)事件A:“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”,事件B:“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”,由題意A和B是相互獨(dú)立的事件,則 相互獨(dú)立,

所以
因此,學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率為

當(dāng)時(shí),只能取,有
當(dāng),整數(shù)滿足,其中中的較小者.“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為
當(dāng)時(shí),同時(shí)收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為,僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為,則由乘法計(jì)數(shù)原理知:事件所含基本事件數(shù)為
此時(shí)
當(dāng),
化簡(jiǎn)解得
假如成立,
則當(dāng)能被整除時(shí),
,故處達(dá)到最大值;
則當(dāng)不能被整除時(shí),處達(dá)最大值.(注:表示不超過(guò)的最大整數(shù)).
下證:
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044546219500.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,故,顯然
因此
點(diǎn)評(píng):考查古典概型,計(jì)數(shù)原理,分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí).,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的球,其中有2個(gè)紅球,3個(gè)白球.
(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,求取出的兩個(gè)球顏色不同的概率;
(2)從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,求兩次取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知箱子里裝有4張大小、形狀都相同的卡片,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4.
(1)從箱子中任取兩張卡片,求兩張卡片的標(biāo)號(hào)之和不小于5的概率;
(2)從箱子中任意取出一張卡片,記下它的標(biāo)號(hào),然后再放回箱子中;第二次再?gòu)南渥又腥稳∫粡埧ㄆ,記下它的?biāo)號(hào),求使得冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖所示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖,其中一個(gè)數(shù)字被污損,則甲的平均成績(jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

先后拋擲一枚骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別記為,按以下程序進(jìn)行運(yùn)算:
(1)若,求程序運(yùn)行后計(jì)算機(jī)輸出的y的值;
(2)若“輸出y的值是3”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

分別在區(qū)間[1,6]和[1,4]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù),依次記為m和n,則的概率為     

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

現(xiàn)在某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

某種飲料每箱裝5聽,其中有3聽合格,2聽不合格,現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2聽進(jìn)行檢測(cè),則檢測(cè)出至少有一聽不合格飲料的概率是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x、y,則滿足log2xy=1的概率為________.

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同步練習(xí)冊(cè)答案