Question

如圖，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（2）過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設(shè)=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件判斷該曲線為橢圓，由所給條件易求a，b，c值；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：直線存在斜率k時，設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，根據(jù)判別式可求得k的范圍，用韋達(dá)定理及=λ可得λ與k的關(guān)系式，借助k的范圍即可求得λ范圍，注意M點位于中間；當(dāng)直線不存在斜率k時，易求λ值，綜上即可求得范圍．
解答：解 （1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4，
∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓，設(shè)其長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則2a=2，
∴a=，c=2，b=1，∴曲線C的方程為+y²=1；
（2）當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入+y²=1，
得（1+5k²）x²+20kx+15=0，△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞，
由圖可知=λ，由韋達(dá)定理得，
將x₁=λx₂代入得，
，
∴，∴5＜+5＜，∴4＜＜，即4＜＜，
∴解得＜λ＜3，∵λ==，M在D、N之間，∴λ＜1，
當(dāng)直線不存在斜率時，易知λ==（此時直線與y軸重合），
綜上，＜1..
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，難度較大．