Question

如圖，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（2）過(guò)D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)

|DM|

|DN|

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件判斷該曲線為橢圓，由所給條件易求a，b，c值；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：直線存在斜率k時(shí)，設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，根據(jù)判別式可求得k的范圍，用韋達(dá)定理及

|DM|

|DN|

=λ可得λ與k的關(guān)系式，借助k的范圍即可求得λ范圍，注意M點(diǎn)位于中間；當(dāng)直線不存在斜率k時(shí)，易求λ值，綜上即可求得范圍．

解答：解 （1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

=2

5

＞|AB|=4，
∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則2a=2

5

，
∴a=

5

，c=2，b=1，∴曲線C的方程為

x2

5

+y²=1；
（2）當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入

x2

5

+y²=1，
得（1+5k²）x²+20kx+15=0，△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞

3

5

，
由圖可知

DM

DN

=

x1

x2

=λ，由韋達(dá)定理得

x1+x2=- 20k 1+5k2 x1•x2= 15 1+5k2

，
將x₁=λx₂代入得

(1+λ)2x22= 400k2 (1+5k2)2 λx22= 15 1+5k2

，
兩式相除得

(1+λ)2

λ

=

400k2

15(1+5k2)

=

80

3(5+ 1 k2 )

∵k2＞

3

5

，
∴0＜

1

k2

＜

5

3

，∴5＜

1

k2

+5＜

20

3

，∴4＜

80

3(5+ 1 k2 )

＜

16

3

，即4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，
∴解得

1

3

＜λ＜3，∵λ=

x1

x2

=

DM

DN

，M在D、N之間，∴λ＜1，
當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，易知λ=

DM

DN

=

1

3

（此時(shí)直線與y軸重合），
綜上，

1

3

≤λ＜1..

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，難度較大．