Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*），則數(shù)列{na_n}項(xiàng)和T_n（n-1）•2ⁿ+1．

Answer 1

分析 由S_n=2a_n-1（n∈N^*），可得：n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，于是na_n=n•2^n-1．再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），
∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a_n=2^n-1．
∴na_n=n•2^n-1．
則數(shù)列{na_n}項(xiàng)和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1．
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故答案為：=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．