已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的正三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),若,求直線的方程.
(1);(2)
解析試題分析:(1)因?yàn)闄E圓C:的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的正三角形,所以可得到兩個(gè)關(guān)于的等式,從而求得相應(yīng)的值.
(2)因?yàn)檫^右焦點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),若,所以點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo).所以通過假設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程即可得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的二次方程,在結(jié)合韋達(dá)定理即可求得k的值即可求得結(jié)論.
試題解析:(1)設(shè)橢圓C的方程為.
由題意得,所以橢圓C的方程為. 4分
(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得(3+4)y2+12-36=0.
設(shè),焦點(diǎn)則根據(jù),得(2-,-)=2(-2,),
由此得-=2,
解方程得:,所以
代入-=2,
得=4,故=,所以直線的方程為 12分
考點(diǎn):1.橢圓的性質(zhì).2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.解方程的能力.4.向量的知識.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2=4y的焦點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若直線y=x-1與拋物線相切于點(diǎn)A,求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程;
(3)若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),求△OMN面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的離心率為,右準(zhǔn)線的方程為.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于的一點(diǎn),直線交于點(diǎn),以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點(diǎn),求截直線所得的弦長;
②設(shè)與直線交于點(diǎn),試證明:直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知?jiǎng)又本與橢圓交于、兩不同點(diǎn),且△的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明和均為定值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的最大值;
(3)橢圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,判斷△的形狀;若不存在,請說明理由.
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(1)已知點(diǎn)和,過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,如果,求點(diǎn)的軌跡;
(2)用正弦定理證明三角形外角平分線定理:如果在中,的外角平分線與邊的延長線相交于點(diǎn),則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓上上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)到的距離之積恒為1?若存在,請求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,橢圓上的點(diǎn)滿足,且的面積.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在直線,使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且線段恰被直線平分?若存在,求出的斜率取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點(diǎn),求的取值范圍;
(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn),求|EF1|+|EF2|取得最小值時(shí),橢圓的方程;
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q滿足 且,其中N為橢圓的下頂點(diǎn),求直線l在y軸上截距的取值范圍.
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