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已知拋物線C:,定點M(0,5),直線與軸交于點F,O為原點,若以OM為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點.
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點M作直線交拋物線C于A,B兩點,連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動.

（1）拋物線C的方程為；（2）詳見解析．

解析試題分析：（1）求拋物線C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直線與軸的交點為拋物線C的焦點，又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點，設交點為，則，故，即，解得，從而可得拋物線C的方程；（2）,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動，找出交點點的坐標即可，故需求出過兩點的切線的方程，而與有關，故可設出直線AB的方程為（斜率一定存在），再設出,，利用三點共線可得，，再由導數的幾何意義，求出斜率，得過點的切線方程為:，過點的切線方程為:，解出，結合，得，即得，從而得證。
試題解析：（1）直線與軸的交點為拋物線C的焦點,又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點,,
所以拋物線C的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率一定存在,設直線AB的方程為,
又設,
共線,,
,,同理可求
,過點的切線的斜率為,切線方程為:,
同理得過點的切線方程為:,聯立得:
由
,即點Q在定直線上運動.
考點：拋物線方程，直線與拋物線的綜合問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t (O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點和短軸的一個端點構成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于點，.
（Ⅰ）若（點在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點為坐標原點）.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設,過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為k， 為坐標原點.
（Ⅰ）若拋物線的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線，設點，，為拋物線上的動點（異于頂點），連結并延長交拋物線于點，連結、并分別延長交拋物線于點、，連結，設、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無關的常數，是的恒成立，若存在，請將用、表示出來；若不存在請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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