Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

(1) 取的中點(diǎn)，連接，要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，即證， 即可；(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.

（1）取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

所以，，且

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>，為等邊三角形，

所以，又因?yàn)?/span>，所以，，

在中，由正弦定理，得：，所以.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則平面的一個(gè)法向量為，

依題意，平面的一個(gè)法向量

所以

故二面角的余弦值為.