Question

(本小題滿分14分)省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)＝＋2a＋，x∈，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈]，若取每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)．
(1) 令t＝，x∈，求t的取值范圍；
(2) 省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

(1) 當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0；(2分)
當(dāng)0＜x≤24時(shí)，＝x＋.對(duì)于函數(shù)y＝x＋，∵y′＝1－，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y＝x＋單調(diào)遞增，
當(dāng)1＜x≤24時(shí)，y′＞0，函數(shù)y＝x＋單調(diào)遞增，
∴y∈.
綜上，t的取值范圍是]．(5分)
(2) 當(dāng)a∈]時(shí)，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋＝(8分)
∵g(0)＝3a＋，g＝a＋，
g(0)－g＝2a－.
故M(a)＝
＝(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí)，M(a)≤2，(12分)
故a∈]時(shí)不超標(biāo)，a∈]時(shí)超標(biāo)．(14分)

解析