【題目】已知函數f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(12分)
(1)討論f(x)的單調性;
(2)當a<0時,證明f(x)≤﹣ ﹣2.
【答案】
(1)
解:因為f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x,
求導f′(x)= +2ax+(2a+1)= = ,(x>0),
①當a=0時,f′(x)= +1>0恒成立,此時y=f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
②當a>0,由于x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立,此時y=f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
③當a<0時,令f′(x)=0,解得:x=﹣ .
因為當x∈(0,﹣ )時,f′(x)>0、當x∈(﹣ ,+∞)時,f′(x)<0,
所以y=f(x)在(0,﹣ )上單調遞增、在(﹣ ,+∞)上單調遞減.
綜上可知:當a≥0時f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
當a<0時,f(x)在(0,﹣ )上單調遞增、在(﹣ ,+∞)上單調遞減;
(2)
證明:由(1)可知:當a<0時f(x)在(0,﹣ )上單調遞增、在(﹣ ,+∞)上單調遞減,
所以當x=﹣ 時函數y=f(x)取最大值f(x)max=f(﹣ )=﹣1﹣ln2﹣ +ln(﹣ ).
從而要證f(x)≤﹣ ﹣2,即證f(﹣ )≤﹣ ﹣2,
即證﹣1﹣ln2﹣ +ln(﹣ )≤﹣ ﹣2,即證﹣ (﹣ )+ln(﹣ )≤﹣1+ln2.
令t=﹣ ,則t>0,問題轉化為證明:﹣ t+lnt≤﹣1+ln2.…(*)
令g(t)=﹣ t+lnt,則g′(t)=﹣ + ,
令g′(t)=0可知t=2,則當0<t<2時g′(t)>0,當t>2時g′(t)<0,
所以y=g(t)在(0,2)上單調遞增、在(2,+∞)上單調遞減,
即g(t)≤g(2)=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2,即(*)式成立,
所以當a<0時,f(x)≤﹣ ﹣2成立.
【解析】(1.)題干求導可知f′(x)= (x>0),分a=0、a>0、a<0三種情況討論f′(x)與0的大小關系可得結論;
(2.)通過(1)可知f(x)max=f(﹣ )=﹣1﹣ln2﹣ +ln(﹣ ),進而轉化可知問題轉化為證明:當t>0時﹣ t+lnt≤﹣1+ln2.進而令g(t)=﹣ t+lnt,利用導數求出y=g(t)的最大值即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減),還要掌握解一元二次不等式(求一元二次不等式解集的步驟:一化:化二次項前的系數為正數;二判:判斷對應方程的根;三求:求對應方程的根;四畫:畫出對應函數的圖象;五解集:根據圖象寫出不等式的解集;規(guī)律:當二次項系數為正時,小于取中間,大于取兩邊)的相關知識才是答題的關鍵.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠BAC= ,P為∠BAC內部一點,過點P的直線與∠BAC的兩邊交于點B,C,且PA⊥AC,AP= .
(Ⅰ)若AB=3,求PC;
(Ⅱ)求 的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線l過點P(2, )且傾斜角為α,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=4cos(θ﹣ ),直線l與曲線C相交于A,B兩點;
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)若 ,求直線l的傾斜角α的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,直線l1的參數方程為 ,(t為參數),直線l2的參數方程為 ,(m為參數).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)寫出C的普通方程;
(Ⅱ)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M為l3與C的交點,求M的極徑.
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【題目】某城市為了解游客人數的變化規(guī)律,提高旅游服務質量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數據,繪制了下面的折線圖.
根據該折線圖,下列結論錯誤的是( 。
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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【題目】等差數列{an}的公差d≠0滿足成等比數列,若=1,Sn是{}的前n項和,則的最小值為________.
【答案】4
【解析】
成等比數列,=1,可得:= ,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分離常數法化簡后,利用基本不等式求出式子的最小值.
∵成等比數列,a1=1,
∴= ,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4,
當且僅當n+1=時取等號,此時n=2,且取到最小值4,
故答案為:4.
【點睛】
本題考查了等差數列的通項公式、前n項和公式,等比中項的性質,基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現錯誤.
【題型】填空題
【結束】
17
【題目】設是公比為正數的等比數列,,
(1)求的通項公式;
(2)設是首項為1,公差為2的等差數列,求數列的前項和
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線y=x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點,點C的坐標為(0,1),當m變化時,解答下列問題:(12分)
(1)能否出現AC⊥BC的情況?說明理由;
(2)證明過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為 (t為參數,0<α<π),以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ= (p>0).
(Ⅰ)寫出直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求 + 的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(50≤x≤100)(單位:千米/小時).假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油(2+ )升,司機的工資是每小時14元.
(1)求這次行車總費用y關于x的表達式;
(2)當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值.
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