【題目】已知拋物線：經(jīng)過點.

（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)為原點，過拋物線的焦點作斜率不為0的直線交拋物線于兩點，，直線分別交直線，于點和點.求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點.

【答案】（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為 （2）證明見解析

【解析】

（1）將點代入拋物線即可求出答案.

（2）根據(jù)題意設(shè)出直線：、、，聯(lián)立直線與拋物線，即可得出.即可求出點、，要證以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點.則只需證明在軸上存在兩點使.

解：（Ⅰ）由拋物線：經(jīng)過點，得.

所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.

（Ⅱ）拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為.

由，得.

設(shè)，，則.

直線的方程為，令，得點的橫坐標(biāo)為.

同理可得點的橫坐標(biāo).

設(shè)點，則.

.

令，即，得或.

綜上，以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點和.

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