Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；
（2）若為圓C上任意一點(diǎn)，求的最大值與最小值；
（3）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓引切線PM，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求當(dāng)|PM|最小時的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）或；或，或；（2）最大值為-1，最小值為-7．；（3）當(dāng)y=即P（）時，|PM|最�。�

試題分析：（1）當(dāng)截距為0時，設(shè)出切線方程為y=kx，同理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；當(dāng)截距不為零時，根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設(shè)出切線方程x+y=b，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，得到切線的方程；（2）設(shè)，則表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點(diǎn)；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050950157678.png" style="vertical-align:middle;" />在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點(diǎn)，而直線MA方程為：y+2=(x-1)，則有：C點(diǎn)到直線MA的距離不大于圓C的半徑，即：，解得：，即可求出的最大值為和最小值；（3）根據(jù)圓切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)P的軌跡方程，由軌跡方程得到動點(diǎn)P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點(diǎn)到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動點(diǎn)的軌跡方程，兩者聯(lián)立即可此時P的坐標(biāo)．
解：圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2
（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時，切線過原點(diǎn)或切線的斜率為；
當(dāng)切線過原點(diǎn)時，設(shè)切線方程為：y=kx，相切則：，得；
當(dāng)切線的斜率為時，設(shè)切線方程為：y=-x+b，由相切得：，
得b=1或b=5;故所求切線方程為：或；或，或
（2）設(shè)，則表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點(diǎn)；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050950157678.png" style="vertical-align:middle;" />在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點(diǎn)，
而直線MA方程為：y+2=(x-1)，則有：C點(diǎn)到直線MA的距離不大于圓C的半徑
即：，解得：，即的最大值為-1，最小值為-7．
（3）由圓的切線長公式得|PM|²=|PC|²-R²=（x+1）²+（y-2）²-2;
由|PM|=|PO|得：（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²;即2x-4y+3=0， 即x=2y-
此時|PM|=|PO|=
所以當(dāng)y=即P（）時，|PM|最�。�