Question

我們把由半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設(shè)點(diǎn)F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，M是線段A₁A₂的中點(diǎn)．
（1）若△F₀F₁F₂是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1（x≤0）上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)B₁，B₂或A₁處；
（3）若P是“果圓”上任意一點(diǎn)，求|PM|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，分別求得|F₀F₂|和|F₁F₂|進(jìn)而求得c²，則a可求得，進(jìn)而求得果圓的方程．
（2）設(shè)P（x，y），則|PM|可求，根據(jù)1-

b2

c2

＜0求得∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到．即|PM|取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)B₁，B₂或A₁處．原式得證．
（3）根據(jù)題意可知研究P位于“果圓”的半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (x≥0)上的情形即可．先表示出|PM|進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定a和c不等式關(guān)系，看a≤2c時(shí)，|PM|²的最小值在x=

a2(a-c)

2c2

時(shí)取到，根據(jù)|PM|²在x＜a時(shí)是遞減的進(jìn)而可知|PM|²的最小值在x=a時(shí)取到，進(jìn)而分別求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵F0(c，0)，F1(0，-

b2-c2

)，F2(0，

b2-c2

)，
∴|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，| F1F2|=2

b2-c2

=1，
于是c2=

3

4

，a2=b2+c2=

7

4

，
所求“果圓”方程為

4

7

x2+y2=1(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)．
（2）設(shè)P（x，y），則|PM|2=(x-

a-c

2

)2+y2=(1-

b2

c2

)x2-(a-c)x+

(a-c)2

4

+b2，-c≤x≤0，
∵1-

b2

c2

＜0，
∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到．
即當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)B₁，B₂或A₁處．
（3）∵|A₁M|=|MA₂|，且B₁和B₂同時(shí)位于“果圓”的半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1( x≥0 )和半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1( x≤0 )上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (x≥0)上的情形即可．|  PM|2=(x-

a-c

2

)2+y2=

c2

a2

[ x-

a2(a-c)

2c2

]2+b2+

(a-c)2

4

-

a2(a-c)2

4c2

．
當(dāng)x=

a2(a-c)

2c2

≤a，即a≤2c時(shí)，|PM|²的最小值在x=

a2(a-c)

2c2

時(shí)取到，
此時(shí)P的橫坐標(biāo)是

a2(a-c)

2c2

．
當(dāng)x=

a2(a-c)

2c2

＞a，即a＞2c時(shí)，
由于|PM|²在x＜a時(shí)是遞減的，|PM|²的最小值在x=a時(shí)取到，此時(shí)P的橫坐標(biāo)是a．
綜上所述，若a≤2c，當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是

a2(a-c)

2c2

；
若a＞2c，當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是a或-c．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．