Question

某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已
知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(單位：萬(wàn)美元)

項(xiàng)目類別	年固定成本	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷售價(jià)	每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)
A產(chǎn)品	10	m	5	100
B產(chǎn)品	20	4	9	60

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，預(yù)計(jì)m∈[3,4]．另外，年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x²萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．
(1)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；
(2)如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)？請(qǐng)你做出規(guī)劃．

Answer 1

（1）y₁=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N，y₂=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N；
（2）當(dāng)3≤m＜3.85投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)3.85＜m≤4投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤(rùn)；m=3.85生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)。

試題分析：（1）y₁=5x-（10+mx）=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N
y₂=9x-（4x+20）-0.05x²=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N
（2）∵3≤m≤4∴5-m＞0∴y₁=（5-m）x-10為增函數(shù)
又0≤x≤100，x∈N∴x=100時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)（5-m）×100-10=490-100m（萬(wàn)美元）
y₂=-0.05x²+5x-20=-0.05（x-50）²+105,0≤x≤60，x∈N
∴x=50時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤(rùn)105（萬(wàn)美元）（y₁）_max-（y₂）_max="490-100m" -105=385-100 m                           
當(dāng)3≤m＜3.85時(shí)，（y₁）_max-（y₂）_max＞0
當(dāng)m=3.85時(shí)，（y₁）_max-（y₂）_max=0
當(dāng)3.85＜m≤4時(shí)，（y₁）_max-（y₂）_max＜0
∴當(dāng)3≤m＜3.85投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤(rùn)
當(dāng)3.85＜m≤4投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤(rùn)
m=3.85生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)
點(diǎn)評(píng)：考查把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導(dǎo)實(shí)際生活中的決策問(wèn)題，屬中檔題．