Question

已知a∈R，且α≠kπ+

π

2

，k∈Z設(shè)直線l：y=xtanα+m，其中m≠0，給出下列結(jié)論：
①l的傾斜角為arctan（tanα）；
②l的方向向量與向量

a

=(cosα，sinα)共線；
③l與直線xsinα-ycosα+n=0（n≠m）一定平行；
④若0＜a＜

π

4

，則l與y=x直線的夾角為

π

4

-α；
⑤若α≠kπ+

π

4

，k∈Z，與l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線l'與l互相垂直．
其中真命題的編號(hào)是

②④

（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：①當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時(shí)，傾斜角才為arctan（tanα）；②寫(xiě)出直線的方向向量即可的答案；③要注意區(qū)分向量的平行與直線平行；④由直線傾斜角的定義，結(jié)合圖象可得；⑤可舉反例說(shuō)明．

解答：解：①當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時(shí)，傾斜角為arctan（tanα），當(dāng)為鈍角時(shí)應(yīng)為π-arctan（tanα），故錯(cuò)誤；
②直線l的方向向量為

b

=（1，tanα），顯然有1×sinα-cosα•tanα=0，即兩向量共線，故正確；
③由②得知識(shí)可知兩直線的方向向量共線，但直線有可能平行或重合，故錯(cuò)誤；
④由直線傾斜角的定義可知：直線y=x與x軸的正方向的夾角為

π

4

，又0＜a＜

π

4

，則l與y=x直線的夾角為

π

4

-α，故正確；
⑤若α≠kπ+

π

4

，k∈Z，與l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線l'與l不一定互相垂直，比如α=

π

6

，則l′的傾斜角為

π

3

，顯然不垂直，故錯(cuò)誤．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題為直線的傾斜角和直線與直線的位置關(guān)系的問(wèn)題，涉及直線的方向向量，屬基礎(chǔ)題．