Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過F₁，F(xiàn)₂作傾斜角都為45°的兩條直線與橢圓交于四點(diǎn)，所構(gòu)成的四邊形與橢圓四個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積之比為

2 2

3

，則離心率

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，過F₁且傾斜角是45度的一條直線方程是y=x+c，聯(lián)立化簡(jiǎn)求|y₁-y₂|=2

2

ab2

a2+b2

，從而求以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積S₁=|F₁F₂||y₁-y₂|=2c2

2

ab2

a2+b2

；再求以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是S₂=2ab；從而得到比值，化簡(jiǎn)可得離心率．

解答： 解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，過F₁且傾斜角是45度的一條直線方程是y=x+c，
代入到橢圓方程化簡(jiǎn)可得，
（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
y₁+y₂=

2b2c

a2+b2

，y₁y₂=

-b4

a2+b2

；
（y₁-y₂）²=（

2b2c

a2+b2

）²-4

-b4

a2+b2

=

8a2b4

(a2+b2)2

；
|y₁-y₂|=2

2

ab2

a2+b2

，
故以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積S₁=|F₁F₂||y₁-y₂|=2c2

2

ab2

a2+b2

；
以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是S₂=2ab；
又∵

S1

S2

=

2 2

3

，
2b²+c²=3bc；
（2b-c）（b-c）=0，
2b=c或b=c；
a²=b²+4b²=5b²或a²=2b²，
故a=

5

b或a=

2

b；
又∵e=

c

a

，
∴e=

2 5

5

或

2

2

．
故答案為：

2 5

5

或

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．