Question

已知函數(shù)f（x）是定義域為R，且?∈x，y∈R都有：f（x•y）=xf（y）+yf（x），且f（2）=2，若數(shù)列{a_n}滿足a_n=

f(2-n)

n

（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,抽象函數(shù)及其應用,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過x=y=1求出f（1）=0，通過x=

1

2

，y=2可得f(

1

2

)=-

1

2

，利用a_n=

f(2-n)

n

推出數(shù)列{n2ⁿa_n}是等差數(shù)列，公差為-1，首項為2a₁=-1，然后求出數(shù)列的通項公式．

解答： 解：因為對任意x，y∈R，f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立，令x=y=1可得f（1）=0，
令x=

1

2

，y=2可得f(1)=2f(

1

2

)+

1

2

f(2)，得f(

1

2

)=-

1

2

，
∴an+1=

f(2-(n+1))

n+1

=

f(2-n× 1 2 )

n+1

=

2-nf( 1 2 )+ 1 2 f(2-n)

n+1

=

- 1 2 ×2-n+ nan 2

n+1

得2(n+1)an+1=-

1

2n

+nan得  (n+1)2n+1an+1-n2nan=-1
所以數(shù)列{n2ⁿa_n}是等差數(shù)列，公差為-1，首項為2a₁=-1，
故n2ⁿa_n=-n，
得an=-

1

2n

故答案為：-

1

2n

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，數(shù)列的遞推關系式的應用，考查分析問題解決問題的能力．