在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點(diǎn).

(1)求證:B1C∥平面A1BD；
(2)求平面A1DB與平面DBB1夾角的余弦值.

（1）詳見解析；（2）平面A1DB與平面DBB1夾角的余弦值為．

解析試題分析：（1）求證:平面；利用線面平行的判定定理，證明線面平行，即證線線平行，可利用三角形的中位線，或平行四邊形的對(duì)邊平行，本題由于是的中點(diǎn)，可連接交與點(diǎn)，連接，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行即可；（2）求平面與平面夾角的余弦值，取中點(diǎn)，則平面，則兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．
試題解析：(1)連接AB1交A1B與點(diǎn)E，連接DE，則B1C∥DE，則B1C∥平面A1BD4分
(2)取A1C1中點(diǎn)F,D為AC中點(diǎn),則DF⊥平面ABC,
又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB兩兩垂直,
建立如圖所示空間直線坐標(biāo)系D-xyz,則D(0,0,0), B(0,,0),A1(-1,0,3)

設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為,


取，則，     8分
設(shè)平面A1DB與平面DBB1夾角的夾角為θ，平面DBB1的一個(gè)法向量為，         10分
則
∴平面A1DB與平面DBB1夾角的余弦值為．    12分
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在多面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC＝1，AB＝ED＝EF＝2，AD＝DG＝4.
 
(1)求證：BE⊥平面DEFG；
(2)求證：BF∥平面ACGD；
(3)求二面角F－BC－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB＝2AD，AD＝，E為DC的中點(diǎn)，將它沿AE折成直二面角D-AE-B.

(1)求證：AD⊥平面BDE；
(2)求二面角B-AD-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O為CD的中點(diǎn)，沿AO將△AOD折起，使DB＝.

(1)求證：平面AOD⊥平面ABCO；
(2)求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)．

(1)證明：直線EE1∥平面FCC1；
(2)求二面角B-FC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中點(diǎn)，將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°，得到梯形ABC′D′(如圖)．

(1)求證：AC⊥平面ABC′；
(2)求證：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；
（II）試問點(diǎn)在線段上什么位置時(shí)，二面角的余弦值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1。

（1）請(qǐng)?jiān)诰�段CE上找到一點(diǎn)F，使得直線BF∥平面ACD，并證明；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大��；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在三棱錐SABC中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn)，側(cè)棱SB和底面成45°角．

(1)若D為側(cè)棱SB上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，CD⊥AB；
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大�。�

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