Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+

y2

2

=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-

2

的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OA

+

OB

+

OP

=

0

．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．

Answer 1

分析：（1）要證明點(diǎn)P在C上，即證明P點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程x2+

y2

2

=1，根據(jù)已知中過(guò)F且斜率為-

2

的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OA

+

OB

+

OP

=

0

，我們求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入驗(yàn)證即可．
（2）若A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上，則我們可以先求出任意三點(diǎn)確定的圓的方程，然后將第四點(diǎn)坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
橢圓C：x2+

y2

2

=1  ①，則直線AB的方程為：y=-

2

x+1  ②
聯(lián)立方程可得4x²-2

2

x-1=0，
則x₁+x₂=

2

2

，x₁×x₂=-

1

4

則y₁+y₂=-

2

（x₁+x₂）+2=1
設(shè)P（p₁，p₂），
則有：

0A

=（x₁，y₁），

0B

=（x₂，y₂），

0P

=（p₁，p₂）；
∴

0A

+

0B

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

2

2

，1）；

0P

=（p₁，p₂）=-（

0A

+

0B

）=（-

2

2

，-1）
∴p的坐標(biāo)為（-

2

2

，-1）代入①方程成立，所以點(diǎn)P在C上．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+ y2

2

），即（

2

4

，

1

2

），
則過(guò)線段AB的中點(diǎn)且垂直于AB的直線方程為：y-

1

2

=

2

2

（x-

2

4

），即y=

2

2

x+

1

4

；③
∵P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點(diǎn)，
則過(guò)線段PQ的中點(diǎn)且垂直于PQ的直線方程為：y=-

2

2

x④；
③④聯(lián)立方程組，解之得：x=-

2

8

，y=

1

8

③④的交點(diǎn)就是圓心O₁（-

2

8

，

1

8

），
r²=|O₁P|²=（-

2

2

-（-

2

8

））²+（-1-

1

8

）²=

3 11

8

故過(guò)P Q兩點(diǎn)圓的方程為：（x+

2

8

）²+（y-

1

8

）²=

3 11

8

…⑤，
把y=-

2

x+1 …②代入⑤，
有x₁+x₂=

2

2

，y₁+y₂=1
∴A，B也是在圓⑤上的．
∴A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量在幾何中的應(yīng)用，其中判斷點(diǎn)與曲線關(guān)系時(shí)，所使用的坐標(biāo)代入驗(yàn)證法是解答本題的關(guān)鍵．