Question

定長(zhǎng)為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y²=x上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：先用A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)M，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為其橫坐標(biāo)建立距離模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等號(hào)的條件求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB長(zhǎng)度為3，
那么x₁=y₁²，x₂=y₂²，（1）
3²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（y₂²-y₁²）²+（y₂-y₁）²=（y₂-y₁）²[（y₂+y₁）²+1]（2）
線段AB的中點(diǎn)M（x，y）到y(tǒng)軸的距離為x=

x1+x2

2

=

1

2

(

y

2 1

+

y

2 2

)=

1

4

[(y1-y2)2+((y1+y2)2+1)-1]≥

1

4

[2

(y1-y2)2((y1+y2)2+1)

-1]
由（2）得x≥

1

4

(2×3-1)=

5

4

，并且當(dāng)（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+1=3（3）
時(shí)x取得最小值x₀=

5

4

下證x能達(dá)到最小值，根據(jù)題意不妨設(shè)y₁＞y₂，由（3）得

y1-y2= 3 y1+y2=± 2

由此解得y₁，y₂，由（1）解得x₁，x₂，所以x可取得最小值

5

4

．
相應(yīng)的M點(diǎn)縱坐標(biāo)y0=

y1+y2

2

=±

2

2

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(

5

4

，

2

2

)或(

5

4

，-

2

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查建模和解模的能力．