Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，連接并延長(zhǎng)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件列出關(guān)于兩個(gè)方程，解方程組可得值，即得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得底邊長(zhǎng)（用直線(xiàn)斜率表示），根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得三角形的高（用直線(xiàn)斜率表示），根據(jù)三角形面積公式可得面積，關(guān)于直線(xiàn)斜率的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)分式函數(shù)求值域方法求函數(shù)最值，注意討論斜率不存在的情形.

試題解析：（1）依題意，，，，解得。

故橢圓的方程為.

(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不妨取，

故.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得，

設(shè)，則，

，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

因?yàn)?/span>是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

∴.

綜上，面積的最大值為.