Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.

（1）設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；

（2）設(shè)F是BC的中點(diǎn)，求證：平面AFD⊥平面AFE；

（3）求幾何體ABCDE的體積.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩條直線同垂直于一個平面，這兩條直線平行可得DC//EB，再有直線與平面平行的判定定理得出直線DC∥平面ABE，由于是平面ABE與平面ACD的交線，可得DC∥，又由直線與平面平行的判定定理∥平面BCDE．（2）先證AF⊥平面BCDE，再證FD⊥平面AFE，最后證明平面AFD⊥平面AFE．（3）由等體積公式求解，即.

【證】（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，

∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，

∴DC∥平面ABE，

平面ABE平面ACD，則DC∥，

又平面BCDE，CD平面BCDE，

所以∥平面BCDE．（4分）

【解】（2）在△DEF中，，由勾股定理知，

由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，

又∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，

又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.（9分）

（3）==2．（13分）

考點(diǎn)：空間中的線線、線面、面面平行于垂直，三棱錐的體積.