Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6ln x＋m.
(1)求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)f(x)＝－x²＋8x＝－(x－4)²＋16.
當(dāng)t＋1<4，即t<3時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)²＋8(t＋1)＝－t²＋6t＋7；當(dāng)t≤4≤t＋1即3≤t≤4時(shí)，h(t)＝f(4)＝16；
當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，
h(t)＝f(t)＝－t²＋8t.
綜上，h(t)＝
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)Φ(x)＝g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
∵Φ(x)＝x²－8x＋6ln x＋m，
∴Φ′(x)＝2x－8＋＝
＝ (x>0)
當(dāng)x∈(0, 1)時(shí)，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，Φ′(x)<0，Φ(x)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函數(shù)；
當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，Φ′(x)＝0.
∴Φ(x)_極大值＝Φ(1)＝m－7，
Φ(x)_極小值＝Φ(3)＝m＋6ln 3－15.
∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，Φ(x)<0，當(dāng)x充分大時(shí)，Φ(x)>0
∴要使Φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須

即7<m<15－6ln 3.
所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7,15－6ln 3)

略