Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物

線(xiàn)的焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

(Ⅱ)是橢圓上兩點(diǎn)，、是橢圓位于直線(xiàn)兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，

（i）若直線(xiàn)的斜率為求四邊形面積的最大值；

（ii）當(dāng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足，試問(wèn)直線(xiàn)的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分14分）

(Ⅰ）設(shè)方程為，則.

由，得

∴橢圓C的方程為.           …………………………………………4分

(Ⅱ)（i）解：設(shè)，直線(xiàn)的方程為，

代入，得       

由，解得                     …………………………………………6分

由韋達(dá)定理得.

四邊形的面積

∴當(dāng)，.                    …………………………………………8分

(Ⅱ) （ii）解：當(dāng)，則、的斜率之和為0，設(shè)直線(xiàn)的斜率為

則的斜率為，的直線(xiàn)方程為

由

（1）代入（2）整理得

                                   …………………………………………10分

同理的直線(xiàn)方程為，可得

∴                    …………………………………………12分

所以的斜率為定值.                                …………………………………………14分