Question

已知f（x）=a²x-x³，x∈（-2，2）為正常數(shù)．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R^*，則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）”推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)論是正確的，試寫(xiě)出推廣后的結(jié)論（無(wú)需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數(shù)f（x）的最大值大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并由此猜測(cè)y=f（x）的單調(diào)性（無(wú)需證明）；
（3）對(duì)滿足（2）的條件的一個(gè)常數(shù)a，設(shè)x=x₁時(shí)，f（x）取得最大值．試構(gòu)造一個(gè)定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數(shù)g（x），使當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，g（x）=f（x），當(dāng)x∈D時(shí)，g（x）取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x₁為首項(xiàng)的等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）充分分析已知不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)即可推廣出結(jié)論：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）．
（2）首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在（0，2）上恒成立，即可獲得a的一個(gè)條件，基本不等式的推廣即可找到函數(shù)最大值的表達(dá)形式，即可獲得a的另一個(gè)條件，考慮到函數(shù)的奇偶性和最值性進(jìn)而問(wèn)題即可獲得解答；
（3）根據(jù)題意題意，結(jié)合函數(shù)的周期性特點(diǎn)選擇四個(gè)周期函數(shù)即可．
解答：解：（1）若a、b、c∈R⁺，則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）．
（2）f（x）=ax²-在（0，2）上恒成立，
即a²＞在（0，2）上恒成立，
∵∈（0，2），∴a²≥2，即a≥，
又∵
∴x²=a²-，即x=a時(shí)，
f_max=，
又∵x=a∈（0，2），∴．綜上，得．
易知，f（x）是奇函數(shù)，∵x=a時(shí)，函數(shù)有最大值，∴x=-a時(shí)，函數(shù)有最小值．
故猜測(cè)：時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
（3）依題意，只需構(gòu)造以4為周期的周期函數(shù)即可．
如對(duì)x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此時(shí)g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a²（x-4k）-，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了推廣的思想、恒成立的思想以及構(gòu)造的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．