已知函數(shù)f(x)=lg(x+
a
x
-2)
,其中a是大于0的常數(shù).
(1)設(shè)g(x)=x+
a
x
,判斷并證明g(x)在[
a
,+∞)
內(nèi)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a∈(1,4)時,求函數(shù)f(x)在[2+∞)內(nèi)的最小值;
(3)若對任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍.
分析:(1)用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明:設(shè)在[
a
,+∞)
內(nèi)有兩個自變量x1、x2,且x1<x2,然后將g(x1)-g(x2)分解因式,得到(x1-x2)•
(x1x2-a)
x1x2
,通過討論這個差的正負(fù),得到g(x1)<g(x2),從而g(x)在[
a
,+∞)
內(nèi)是增函數(shù);
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,得到真數(shù)對應(yīng)的函數(shù)u(x)=x+
a
x
-2
當(dāng)a∈(1,4)時,在區(qū)間[2+∞)內(nèi)是增函數(shù),再結(jié)合對數(shù)函數(shù)y=lgx在其定義域上為增函數(shù),得到f(x)在[2+∞)上也是增函數(shù),從而得出最小值為f(2)=lg
a
2
;
(3)將不等式f(x)>0變形,得到不等式x+
a
x
-2>1
對x∈[2,+∞)恒成立,然后移項去分母,可得a>3x-x2區(qū)間[2,+∞)恒成立,即a>(3x-x2max.最后求出二次函數(shù)h(x)=3x-x2在區(qū)間[2,+∞)上是減函數(shù),從而得到其最大值為h(2)=2,從而得到a的取值范圍是(2,+∞).
解答:解:(1)設(shè)在[
a
,+∞)
內(nèi)有兩個自變量x1、x2,且x1<x2,
則g(x1)-g(x2)=x 1+
a
x 1
-(x 2+
a
x 2
)
=(x1-x2)+
a(x2-x1
x1x2

=(x1-x2)(1-
a
x1x2
)
=(x1-x2)•
(x1x2-a) 
x1x2

∵x1<x2,
a
x1
a
x2

∴x1-x2<0,x1x2>0且x1x2-a>0,
∴g(x1)-g(x2)<0,可得g(x1)<g(x2
所以函數(shù)g(x)在[
a
,+∞)
內(nèi)是增函數(shù);
(2)設(shè)u(x)=x+
a
x
-2
,當(dāng)a∈(1,4),x∈[2,+∞)時
由(1)知u(x)=x+
a
x
-2
在[2,+∞)上是增函數(shù)
又∵對數(shù)函數(shù)y=lgx在其定義域上為增函數(shù),
f(x)=lg(x+
a
x
-2)
在[2,+∞)上是增函數(shù)
f(x)=lg(x+
a
x
-2)
在[2,+∞)上的最小值為f(2)=lg
a
2

(2)對任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,
lg(x+
a
x
-2)>0
在區(qū)間[2,+∞)恒成立,
而常用對數(shù)的底為10>1,lg1=0,所以x+
a
x
-2>1
對x∈[2,+∞)恒成立
∴移項,去分母得a>3x-x2區(qū)間[2,+∞)恒成立,即a>(3x-x2max
設(shè)h(x)=3x-x2=-(x-
3
2
)2+
9
4
,
∵在x∈[2,+∞)上h(x)是減函數(shù)
∴h(x)max=h(2)=2,
∴a>2
點(diǎn)評:本題給出一個分式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合類型的函數(shù),通過研究它的單調(diào)性與最值,考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值等知識點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個數(shù).

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