Question

【題目】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________

Answer 1

【答案】

【解析】

令，則原方程化為，當(dāng)即時(shí)，原方程化為，表示單位圓的上半部分；當(dāng)即，或時(shí)，則原方程化為，表示等軸雙曲線的上半部分（不含與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）；再結(jié)合圖象借助直線與圓和雙曲線的位置關(guān)系分類(lèi)討論即可得出結(jié)論．

解：∵方程有兩個(gè)不同的解，令，則，

則原方程化為，

當(dāng)即時(shí)，原方程化為，表示單位圓的上半部分，

當(dāng)即，或時(shí)，則原方程化為，表示等軸雙曲線的上半部分（不含與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），

作出圖象得，

∵等軸雙曲線漸近線為，

∴直線與雙曲線最多有一個(gè)交點(diǎn)，

∴直線與半圓至少有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，得，

（1）當(dāng)時(shí)，直線與半圓相切，有1個(gè)交點(diǎn)，與雙曲線有1個(gè)交點(diǎn)，則原方程有兩個(gè)不同的解；

（2）當(dāng)時(shí)，直線與半圓相交，有2個(gè)交點(diǎn)，與雙曲線有1個(gè)交點(diǎn)，則原方程有三個(gè)不同的解，不合題意；

（3）當(dāng)時(shí)，直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)和，與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)不同的解；

（4）當(dāng)時(shí)，直線與半圓有1個(gè)交點(diǎn)，與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故原方程只有1個(gè)解，不合題意；

（5）當(dāng)時(shí)，直線與半圓有1個(gè)交點(diǎn)，與雙曲線有1個(gè)交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)不同的解；

（6）當(dāng)時(shí)，直線與半圓有1個(gè)交點(diǎn)，與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故原方程只有1個(gè)解，不合題意；

（7）當(dāng)時(shí)，直線與半圓沒(méi)有交點(diǎn)，與雙曲線也沒(méi)有交點(diǎn)，故原方程沒(méi)有解，不合題意；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，

故答案為：．