Question

已知P是曲線C：y=xⁿ（n∈N^﹡）上異于原點的任意一點，過P的切線l分別交X軸，Y軸于Q、R兩點，且

PQ

=

1

2

QR

，求n的值．

Answer 1

分析：設點P（p，pⁿ），根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=p處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出，求出點Q和點R的坐標，然后根據(jù)

PQ

=

1

2

QR

建立等式關系，即可求出n的值．

解答：解：設點P（p，pⁿ），y'=nx^n-1，y'|_x=p=np^n-1
∴曲線C在點P的切線方程為y-pⁿ=np^n-1（x-p）
令x=0，y=（1-n）pⁿ；即R（0，（1-n）pⁿ）
令y=0，x=

(n-1)p

n

，即Q（

(n-1)p

n

，0）
∵

PQ

=

1

2

QR

，
∴-pⁿ=

1

2

（1-n）pⁿ，解得：n=3
故n的值為3．

點評：考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用平行向量與共線向量進行解題，屬于基礎題．