Question

（本小題滿分12分）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)n是過原點的直線，l是與n垂直相交于點P，且與曲線C相交于A、B兩點的直線，且，問：是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點，那么點M（x，y）滿足

化簡，得y²=4x(x＞0). ………………………………………………………………………3分

注：（1）未寫x＞0的不扣分；

（2）由拋物線的定義直接得方程，只要設(shè)出方程y²=2px.說明p=2，也可得3分.

（Ⅱ）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）.

假設(shè)使成立的直線l存在.

①當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=kx+m,

由l與n垂直相交于P點且得

   ①……………………………………………………………4分

…………………………………………………………5分

             

              =1+0+0-1=0，即x₁x₂+ y₁y₂=0. ……………………………………………………6分

將y=kx+m代入方程y²=4x,得k²x²+(2km-4)x+m²=0. ………………………………………7分

∵l與C有兩個交點，∴k≠0,

    ②

∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m) (kx₂+m)

=（1+k²）x₁x₂+km (x₁+x₂)+ m²=0.      ③……………………………………………8分

將②代入③得

化簡，得m²+4km=0. ……………………………………………………………………9分

 ∴m≠0  ①  ∴m+4k=0   ④

由①、④得…………………………………………………10分

得存在兩條直線l滿足條件，其方程為：

②當(dāng)l垂直于x軸時，則n為x軸，P點坐標(biāo)為（1，0），A（1，2），B（1，-2）.

綜上，符合題意的直線l有兩條：………12分

注：第Ⅱ問設(shè)l的方程為x=ly+m，聯(lián)立y²=4x建立y的一元二次方程更簡單，且不需討論.