Question

設(shè) 圓與軸正半軸的交點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為．
（1）用表示和
（2）若數(shù)列滿足 
（1）求常數(shù)的值，使得數(shù)列成等比數(shù)列；
（2）比較與的大小．

Answer 1

（1），；（2）當(dāng)時，數(shù)列成公比為4的等比數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列成公比為2的等比數(shù)列．．

試題分析：本題主要考查曲線與圓相交問題、直線的方程、等比數(shù)列的證明、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，點N代入到曲線和圓中，聯(lián)立得到，由于直線MN過M、A點，從而得到直線MN的方程，N點也在MN上，代入MN方程中，經(jīng)整理得到的表達(dá)式；第二問，（ⅰ）利用等比數(shù)列的定義知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式，經(jīng)過化簡得，利用的通項公式和為等比數(shù)列列出2個關(guān)系式，利用2個式子是q倍的關(guān)系，解出p和q的值；（ⅱ）利用可以猜想，即需要證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定，即，所以．
試題解析：（1）與圓交于點，則，即．由題可知，點的坐標(biāo)為，從而直線的方程為，由點在直線上得，將，代入，
得 ,
 即              4分
（2）由知，為等比數(shù)列，由， 知，公比為4，故，所以                     5分
（1） 

令得
 
由等式
對于任意成立，得
 解得或                           8分
故當(dāng)時，數(shù)列成公比為4的等比數(shù)列；
當(dāng)時，數(shù)列成公比為2的等比數(shù)列．               9分
（2）由（1）知，當(dāng)時，；當(dāng)時， 事實上，令，則 故
是增函數(shù)，所以，即 
即 ．                                     14分