Question

點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（c，0），若M為線段FP的中點(diǎn)，且M到原點(diǎn)的距離為

c

8

，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  4

  3

  ]
• B、（1，8]
• C、（

  4

  3

  ，

  5

  3

  ）
• D、（2，3]

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直接利用雙曲線的定義，結(jié)合三角形的中位線定理，推出a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁，
因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的一點(diǎn)，
其右焦點(diǎn)為F（c，0），若M為線段FP的中點(diǎn)，
且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

c

8

，
由三角形中位線定理可知：OM=

1

2

PF₁，
PF₁=PF-2a，PF≥a+c．
所以

1

4

c+2a≥a+c，即有c≤

4

3

a，即e=

c

a

≤

4

3

，
但e＞1，則1＜e≤

4

3

．
故選A．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查雙曲線的基本性質(zhì)，找出三角形的中位線與雙曲線的定義的關(guān)系，得到PF≥a+c．是解題的關(guān)鍵．