Question

將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃，液體的溫度ξ（單位：℃）是一個(gè)隨機(jī)變量，且ξ～N（d，0.5²）．
（1）若d=90°，求ξ＜89的概率；
（2）若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問d至少是多少？（其中若η～N（0，1），則
Φ（2）=P（η＜2）=0.9772，Φ（-2.327）=P（η＜-2.327）=0.01）．

Answer 1

分析：（1）要求P（ξ＜89）=F（89），∵ξ～N（d，0.5）不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值求解．
（2）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p，再利用p≥0.99，解出d即可．

解答：解：（1）P（ξ＜89）=F（89）=Φ（

89-90

0.5

）
=Φ（-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228．
（2）由已知d滿足0.99≤P（ξ≥80），
即1-P（ξ＜80）≥1-0.01，∴P（ξ＜80）≤0.01．
∴Φ（

80-d

0.5

）≤0.01=Φ（-2.327）．
∴

80-d

0.5

≤-2.327．
∴d≤81.1635．
故d至少為81.1635．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義以及正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化：若ξ～N（μ，?），則η=

ξ-μ

σ

～N（0，1）．