Question

對定義域內(nèi)的任意x₁、x₂都有f(x₁·5x₂)=f(x₁)+f(x₂)，且當(dāng)x＞1時，f(x)＞0,f(2)=1，

（1）求證：f(x)是偶函數(shù)；

（2）f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

（3）解不等式f(2x²-1)＜2．

Answer 1

解析：本題的中心就是構(gòu)造，如何利用已知條件構(gòu)造出f(x)和f(-x)的關(guān)系，此題可用特值法.

答案：（1）令x₁=x₂=1，得f(1)=2f(1).∴f(1)=0.?

令x₁=x₂=-1，得f(-1)=0.

又f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，?

∴f(x)是偶函數(shù)．

（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，則?

f(x₂)-f(x₁)?

=f(x₁·)-f(x₁)

=f(x₁)+f()-f(x₁)?

=f().?

∵x₂＞x₁＞0，∴＞1，f()＞0，即f(x₂)-f(x₁)＞0.?

∴f(x₂)＞f(x₁).

∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)．

（3）∵f(2)=1，?

∴f(4)=f(2)+f(2)=2.?

∵f(x)是偶函數(shù),?

∴不等式f(2x²-1)＜2可化為f(|2x²-1|)＜f(4).?

又∵函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)，∴|2x²-1|＜4.?

解得-＜x＜，

即不等式的解集為(-,)．