Question

22、已知函數(shù)f（x）定義域為{x|x≠0，x∈R}，對定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且當(dāng)x＞1時f（x）＞0，
（1）求f（1）與f（-1）值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)“湊”的原則，結(jié)合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分別令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，即可得到答案；
（2）根據(jù)f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）及（1）中的結(jié)論，令x₁=-1，易判斷出f（-x₂）與f（x₂）的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可得到答案．
（3）令x₁＞1，結(jié)合已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且當(dāng)x＞1時f（x）＞0，我們易根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；（2分）
（2）證明：令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函數(shù)；（3分）
（3）證明：令x₁＞1，當(dāng)x₂∈（0，+∞）時，x₁•x₂＞x₂
∵當(dāng)x＞1時f（x）＞0
∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（3分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及抽象函數(shù)值，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．