已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點(diǎn)A(3,0),且與圓O相切.
(1)求直線l1的方程;
(2)設(shè)圓O與x軸交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點(diǎn)P′,直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′.求證:以P′Q′為直徑的圓C總過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
[解析] (1)∵直線l1過點(diǎn)A(3,0),∴設(shè)直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
則圓心O(0,0)到直線l1的距離為d==1,
解得k=±.
∴直線l1的方程為y=±(x-3).
(2)在圓O的方程x2+y2=1中,令y=0得,x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點(diǎn)A與x軸垂直,∴直線l2的方程為x=3,設(shè)M(s,t),則直線PM的方程為y=(x+1).
解方程組得,P′.
同理可得Q′.
∴以P′Q′為直徑的圓C的方程為(x-3)(x-3)+=0,
又s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,
若圓C經(jīng)過定點(diǎn),則y=0,從而有x2-6x+1=0,
解得x=3±2,
∴圓C總經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(3±2,0).,
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