Question

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R均有f（x+2）=f（x）+1成立，則f（2013）+f（2014）的值為（　　）

• A、2013
• B、2013.5
• C、2014
• D、2014.5

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)f（x）的性質(zhì)，以及任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+1成立，可得f（1）和f（2）的值，再利用恒等式求出f（2013）、f（2014）的值，即可得f（2013）+f（2014）的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1）…①
又∵對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+1成立，
令x=-1，f（1）=f（-1）+1…②
由①②得，f（1）=0.5，
∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
代入f（x+2）=f（x）+1，得f（2）=f（0）+1=1，
∴f（2013）=f（2011）+1=f（2009）+2=…=f（1）+1006=1006.5，
f（2014）=f（2012）+1=f（2010）+2=…=f（2）+1006=1007，
∴f（2013）+f（2014）=1006.5+1007=2013.5，
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用賦值法求出f（1）和f（2）是解答的關(guān)鍵．