【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點,M為橢圓上除長軸端點外的任意一點,且△MF1F2的周長為4+2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點D(0,﹣2)作直線l與橢圓C交于A、B兩點,點N滿足 (O為原點),求四邊形OANB面積的最大值,并求此時直線l的方程.
【答案】
(1)解:由離心率為e= = ,①
則△MF1F2的周長l=2a+2c=4+2 ,則a+c=2+ ,②
則a=2,c= ,
則b2=a2﹣c2=1,
∴橢圓C的方程
(2)解:由 ,則四邊形OANB為平行四邊形,
當直線l的斜率不存在時顯然不符合題意;
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx﹣2,l與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,由 得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0
由△=162k2﹣48(1+4k2)>0,得k2> ∴x1+x2= ,x1x2=
∵S△OAB= 丨OD丨丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨,
∴四邊形OANB面積S=2S△OAB=2丨x1﹣x2丨=2 ,
=2 ,
=2 ,
=8 ,
令4k2﹣3=t,則4k2=t+3(由上可知t>0),S=8 =8 ≤8 =8 =2,
當且僅當t=4,即k2= 時取等號;
∴當k=± ,平行四邊形OANB面積的最大值為2,
此時直線l的方程為y=± x﹣2
【解析】(1)利用橢圓的離心率公式及焦點三角形的周長公式,求得a和c的值,b2=a2﹣c2=1,即可求得橢圓方程;(2)確定四邊形OANB為平行四邊形,則SOANB=2S△OAB , 表示出面積,利用基本不等式,即可求得最大值,從而可得直線l的方程.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l過定點P(1,1),且傾斜角為 ,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸的坐標系中,曲線C的極坐標方程為 .
(1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于不同的兩點A,B,求|AB|及|PA||PB|的值.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若 ,求函數(shù) 的極小值;
(2)設函數(shù) ,求函數(shù) 的單調區(qū)間;
(3)若在區(qū)間 上存在一點 ,使得 成立,求 的取值范圍,( )
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在 軸上,離心率為 ,且經(jīng)過點 ,直線 : 交橢圓于 , 兩不同的點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線 不過點 ,求證:直線 , 與 軸圍成等腰三角形.
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【題目】已知直線 為參數(shù)),圓 ( 為參數(shù)),
(Ⅰ)當 時,求 與 的交點坐標;
(Ⅱ)過坐標原點 作 的垂線,垂足為 , 為 的中點,當 變化時,求 點軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.
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【題目】給出30個數(shù):1,2,4,7,,其規(guī)律是:第1個數(shù)是1,第2個數(shù)比第1個數(shù)大1,第3個數(shù)比第2個數(shù)大2,第4個數(shù)比第3個數(shù)大3,以此類推,要計算這30個數(shù)的和,現(xiàn)已給出了解決該問題的算法框圖(如圖所示).
(1)請在圖中處理框內①處和判斷框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能;
(2)根據(jù)算法框圖寫出算法語句.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+ |(a>0)(a<0)
(1)當a=2時,求不等式f(x)>3的解集
(2)證明: .
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【題目】△ABC中,sin(A﹣B)=sinC﹣sinB,D是邊BC的一個三等分點(靠近點B),記 ,則當λ取最大值時,tan∠ACD= .
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【題目】某品牌新款夏裝即將上市,為了對新款夏裝進行合理定價,在該地區(qū)的三家連鎖店各進行了兩天試銷售,得到如下數(shù)據(jù):
連鎖店 | A店 | B店 | C店 | |||
售價x(元) | 80 | 86 | 82 | 88 | 84 | 90 |
銷量y(件) | 88 | 78 | 85 | 75 | 82 | 66 |
(1)分別以三家連鎖店的平均售價與平均銷量為散點,求出售價與銷量的回歸直線方程 ;
(2)在大量投入市場后,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該夏裝成本價為40元/件,為使該新夏裝在銷售上獲得最大利潤,該款夏裝的單價應定為多少元?(保留整數(shù))
附:
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