Question

【題目】已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），則（ ）
A.當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值
B.當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在x=1處取得極大值
C.當(dāng)k=2時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值
D.當(dāng)k=2時(shí)，f（x）在x=1處取得極大值

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）．
求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=ex（x﹣1）+（ex﹣1）=（xex﹣1），
f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，
則f（x）在在x=1處與在x=2處均取不到極值，
當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2 ．
求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2），
∴當(dāng)x=1，f'（x）=0，且當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x0＜x＜1時(shí)（x0為極大值點(diǎn)），f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
在（x0 ， 1）上是減函數(shù)，從而函數(shù)f（x）在x=1取得極小值．對照選項(xiàng)．
故選C．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．