【題目】已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x+b(e為自然對數(shù)的底數(shù),a,b∈R)
(1)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),求f′(x)的遞增區(qū)間;
(2)當a>0時,證明:f′(x)的最小值小于零;
(3)若a<0,f(x)>0恒成立,求符合條件的最小整數(shù)b.

【答案】
(1)解:令g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣2,則g′(x)=ex﹣2a

當a≤0 時,g′(x)>0恒成立,此時f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣∞,+∞);

當a>0,令g′(x0)=0,解得x0=ln2a,

則當x<ln2a時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當x>ln2a時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

綜上所述,當a≤0時,f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣∞,+∞);

當a>0時,f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2a,+∞)


(2)證明:由(1)可知,當a>0時,x0=ln2a時,f′(x)有最小值,

則f′(x)min=g(x)min=g(ln2a)=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2

令G(x)=x﹣xlnx﹣2(x>0),G′(x)=1﹣(1+lnx)=﹣lnx,

當x∈(0,1)時,G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增;

當x∈(1,+∞)時,G′(x)<0,G(x)單調(diào)遞減,

∴G(x)max=G(1)=﹣1<0,∴f′(x)min<0成立


(3)解:f(x)>0恒成立,等價于f(x)min>0恒成立.

令g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣2,則g′(x)=ex﹣2a,

∵a<0,∴g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

又g(0)=﹣1<0,g(1)=e﹣2a>0,

∴存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0

則x<x0時,g(x)=f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

x>x0時,g(x)=f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

∴f(x)min=f(x0)=ex0﹣ax02﹣2x0+b>0恒成立,且ex0﹣2ax0﹣2=0

由上可知,b>﹣ex0+ax02+2x0=﹣ex0+x0 ﹣1)+2x0=( ﹣1)ex0+x0

又可得,a= <0,∴x0∈(0,ln2)

令m(x)=( x﹣1)ex+x,x∈(0,ln2),

令n(x)=m′(x)= (x﹣1)ex+1,n′(x)= xex>0,

∴n(x)>n(0)= >0,∴m(x)單調(diào)遞增,m(x)>m(0)=(﹣1)e0=﹣1,

m(x)<m(ln2)=( ﹣1)eln2+ln2=2ln2﹣2

∴b>﹣1,∴符合條件的最小整數(shù)b=0


【解析】(1)令g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣2,求得g(x)導(dǎo)數(shù),討論當a≤0 時,當a>0時,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)f′(x)min=g(x)min=g(ln2a)=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2,令G(x)=x﹣xlnx﹣2(x>0),求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得G(x)的最大值,即可得證;(3)f(x)>0恒成立,等價于f(x)min>0恒成立.令g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣2,求出g(x)的零點所在區(qū)間,得到f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即f(x)min=f(x0)=ex0﹣ax02﹣2x0+b>0恒成立,且ex0﹣2ax0﹣2=0,再由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法,即可得到b的范圍,進而得到最小整數(shù)b.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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