Question

（2013•蘭州一模）選修4-5：《不等式選講》
已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（I）證明：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

分析：（I）分當(dāng)x≤2時(shí)、當(dāng)2＜x＜5時(shí)、當(dāng)x≥5 時(shí)三種情況，分別化簡函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)f（x）的值域，可得-3≤f（x）≤3成立．
（II）分當(dāng)x≤2時(shí)、當(dāng)2＜x＜5時(shí)、當(dāng)x≥5時(shí)三種情況，分別解出不等式f（x））≥x²-8x-8x+15的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（I）證明：當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7，所以-3＜f（x）＜3；
當(dāng)x≥5 時(shí)，f（x）=x-2-（x-5）=3．
所以-3≤f（x）≤3．…（5分）
（II）由（I）可知，當(dāng)x≤2時(shí)，f（x））≥x²-8x-8x+15，等價(jià)于-3≥x²-8x+15，
等價(jià)于（x-4）²+2≤0，解集為∅．
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f（x）≥x²-8x-8x+15，等價(jià)于2x-7≥x²-8x-8x+15，即 x²-10x+22≤0，
解得 5-

3

≤x≤5+

3

，故不等式的解集為{x|5-

3

≤x＜5}．
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）≥x²-8x+15，等價(jià)于x²-8x+12≤0，解得2≤x≤6，
∴不等式的解集為 {x|5≤x≤6}．
綜上，不等式的解集為{x|5-

3

≤x≤6}．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．