Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n，數(shù)列{b_n}滿足2n2-(t+bn)n+

3

2

bn=0，（t∈R，n∈N^*）．
（1）試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）當(dāng)數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)k，在a_k和a_k+1之間插入b_k個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）確定數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義，即可確定實(shí)數(shù)t的值；
（2）先確定c_m+1必是數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)a_k+1，再分組求和，結(jié)合整除的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2-(t+b1)+

3

2

b1=0，得b₁=2t-4，
同理：n=2時(shí)，得b₂=16-4t；n=3時(shí)，得b₃=12-2t，則由b₁+b₃=2b₂，得t=3．…（2分）
而當(dāng)t=3時(shí)，2n2-(3+bn)n+

3

2

bn=0，得b_n=2n
由b_n+1-b_n=2，知此時(shí)數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．…（4分）
（2）由題意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…
則當(dāng)m=1時(shí)，T₁=2≠2c₂=4，不合題意，舍去；
當(dāng)m=2時(shí)，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，所以m=2成立； …（6分）
當(dāng)m≥3時(shí)，若c_m+1=2，則T_m≠2c_m+1，不合題意，舍去；
從而c_m+1必是數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)a_k+1，則Tm=a1+

2+…+2

b1個(gè)

+a2+

2+…+2

b2個(gè)

+a3+

2+…+2

b3個(gè)

+a4+…+ak+

2+…+2

bk個(gè)

=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2(2k-1)+2×

(2+2k)k

2

=2k+1+2k2+2k-2，…（9分）
又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，
所以2^k+1=k²+k=k（k+1）
因?yàn)?^k+1（k∈N^*）為奇數(shù)，而k²+k=k（k+1）為偶數(shù)，所以上式無解．
即當(dāng)m≥3時(shí)，T_m≠2c_m+1
綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有m=2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的判定，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．